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pues simplemente eso, queria saber que quiere decir abrir puertos o mapear puertos de un router?

Como tu sabes las computadoras se identifican en Internet Mediante un direccion IP (esto es capa 3)

Los puertos son numeros que idnetifican a las aplicaciones de una PC

osea que para abrir una pagina web, mandar un correo o lo que sea, tienes que abri una conexion que implica tanto una ip origen y destino como un puerto origen y destino

Ahora bien tu puedes pedir conectarte a un puerto (asi eres cliente) o dejar que otros se conecten a ti "escuchando" algun puerto (asi eres servidor)

Cuando te pones a "escuchar" un puerto osea esperando una conexion se dice que has abierto un puerto

La expresion abrir puertos tambien se usa cuando en un firewall, (encargado de permitir, denegar y custodiar las conexiones) habilitas o das permisos para que cierto puerto destino u origen pueda salir o entrar de la red local.

Mapear puertos, bueno esto es mas profundo, algunas IP No son publicas osea que no las puedes ver desde internet o desde fuera de la red, asi que por lo general las conexion desde dentro hacia afuera sin ningun problema (se ocupa un protocolo llamado NAT que traduce estas direcciones IP junto con sus puertos)

Pero cuando te quieres conectar hacia dentro de dicha red con un NAT, el equipo que ejecuta dicho NAT (que por lo general es un router) debes mapear es puerto hacia una IP de la red interna (esto tambien es conocido como PORTFORWARD)

Algunos usan el NAT y el mapeo tambien como medida extra de seguridad.
Fuente(s):
Trabajo en redes, trate de explicarlo con menos Tecnisismos y conceptos mas claros

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